Elements, notació de conjunt de conjunts, conjunts de intersecció, diagrames de Venn
Descripció general de conjunts
Matemàticament, un conjunt és una col · lecció o una llista d'objectes.
Els conjunts no només formen part de nombres, però poden contenir tot el que inclou:
- el menjar a la nevera;
- els planetes del sistema solar;
Tot i que els conjunts poden contenir qualsevol cosa, sovint es refereixen a números que s'ajusten a un patró o que estan relacionats d'alguna manera, com ara:
- conjunt de nombres positius nombres inferiors a 10: (0, 2, 4, 6, 8);
- conjunt de factors per al número 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Estableix la notació
Els objectes d'un conjunt s'anomenen elements i la notació o convencions següents s'utilitzen amb conjunts:
- Les lletres majúscules individuals s'utilitzen per identificar conjunts, com ara J, E o F ;
- Les lletres minúscules o els números s'utilitzen per als elements d'un conjunt;
- Els claudàtors {} denoten una llista d'elements d'un conjunt;
- Les cometes s'utilitzen per separar els elements establerts.
Per tant, els exemples de notació establerta serien:
J = {jupiter, saturn, uranus, neptun}
E = {0, 2, 4, 6, 8};
F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
Ordre d'element i repetició
Els elements d'un conjunt no han d'estar en un ordre determinat, de manera que el conjunt J anterior també es pot escriure com:
J = {saturn, jupiter, neptú, uranus}
o
J = {neptuno, júpiter, uranus, saturn}
Els elements repetidors tampoc no canvien el conjunt, de manera que:
J = {jupiter, saturn, uranus, neptun}
i
J = {jupiter, saturn, uranus, neptú, jupiter, saturn}
són el mateix conjunt perquè els dos contenen només quatre elements diferents: júpiter, saturó, urani i neptuno.
Conjunts i el·lipsis
Si hi ha un nombre infinit d' il·limitacions en un conjunt, s'utilitza una el·lipsi (...) per mostrar que el patró del conjunt continua per sempre en aquesta direcció.
Per exemple, el conjunt de nombres naturals comença a zero, però no té final, de manera que es pot escriure en la forma següent:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Un altre conjunt especial de números que no té final és el conjunt d'enters. Atès que els enters poden ser positius o negatius, però, el conjunt usa el·lipsis en ambdós extrems per mostrar que el joc continua per sempre en ambdues direccions:
{ ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Un altre ús per a el·lipses és omplir el centre d'un conjunt gran com ara:
{0, 2, 4, 6, 8, ..., 94, 96, 98, 100}
Els punts suspensius mostren que el patró -tots números parells- continua per la secció no escrita del conjunt.
Conjunts especials
Els conjunts especials que s'utilitzen amb freqüència s'identifiquen amb lletres o símbols específics. Això inclou:
- Ø o () - el conjunt buit: un conjunt que no conté elements ;
- U : el conjunt universal: un conjunt que conté tots els elements relatius a una definició de conjunt particular ;
- Z - el conjunt de tots els enters: Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... };
- N - nombres naturals (nombres enters positius): N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, ... ).
Classificació contra mètodes descriptius
Escriure o llistar els elements d'un conjunt, com el conjunt dels planetes interns o terrestres del nostre sistema solar, s'anomena notació del roster o el mètode de la llista .
T = (mercuri, venus, terra, mars)
Una altra opció per identificar els elements d'un conjunt és utilitzar el mètode descriptiu, que utilitza una expressió o un nom breus per descriure el conjunt, com ara:
T = {els planetes terrestres}
Notació de configuració del creador
Una alternativa a la llista i als mètodes descriptius és utilitzar la notació de generador de conjunts , que és un mètode de taquigrafia que descriu la regla que segueixen els elements del conjunt (la regla que els converteix en membres d'un conjunt determinat) .
La notació de configuració del conjunt de nombres naturals superior a zero és:
{x | x ∈ N, x > 0 }
o
{x: x ∈ N, x > 0 }
En la notació del generador de finestres, la lletra "x" és una variable o un marcador de posició, que es pot substituir per qualsevol altra lletra.
Personatges de taquilles
Els caràcters de taquigrafia que s'utilitzen amb la notació de generador de conjunts inclouen:
- La barra vertical o el dos punts (o els caràcters) són separadors que es llegeixen com a tals;
- L'epsilon en minúscula (caràcter ∈ ) - es llegeix com un element de;
- El caràcter - es llegeix com no un element de.
Per tant, {x | x ∈ N, x > 0 } es llegirà com:
"El conjunt de totes x , tal que x és un element del conjunt de nombres naturals i x és major que 0."
Conjunts i diagrames de Venn
Un diagrama de Venn (de vegades anomenat diagrama de conjunts ) s'utilitza per mostrar relacions entre els elements de diferents conjunts.
A la imatge de dalt, la secció de solapament del diagrama de Venn mostra la intersecció dels conjunts E i F (elements comuns d'ambdós conjunts).
A continuació es mostra la notació de configuració per a l'operació (el "U" cap avall significa la intersecció):
E ∩ F = {x | x ∈ E , x ∈ F}
La vora rectangular i la lletra U a la cantonada del diagrama de Venn representen el conjunt universal de tots els elements considerats per a aquesta operació:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}